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Stockwerk 1

Mathematik

Zahlen, Flächen, Volumen, Zinsen — mit Formeln

ZahlenFlächenberechnungVolumenberechnungGleichungenDreisatzProzent- /ZinsrechnungZinsrechnungZinseszins

Zahlen

Natürliche Zahlen

  • Beschreibung

    0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; …
Ganze Zahlen

  • Beschreibung

    Alle natürlichen Zahlen + deren Negative: 
    0; 1; -1; 2; -2; …
Rationale Zahlen

  • Beschreibung

    Alle Brüche: Oben: Zähler Unten: Nenner Zwei Interpretationen: (1) 3 geteilt durch 4 = 0,75 oder (2) 3 von 4 Welche Kommazahlen sind als Bruch darstellbar? Endliche Dezimalzahlen sind immer als Bruch darstellbar. Ist die Dezimalzahl periodisch, ist sie als Bruch darstellbar. In allen anderen Fällen geht das nicht. 
    0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; …
Reelle Zahlen

  • Beschreibung

    Alle Brüche: Reelle Zahlen = Alle Kommazahlen = alle Rationalen + alle Irrationale Zahlen
Primzahlen

  • Beschreibung

    2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19
    = alle Zahlen > 1, die nur durch 1 und sich selbst teilbar sind
    Beispiel: 
    625 = 5 * 125 = 5 * 5 * 25 = 5 * 5 * 5 * 5 = 5⁴
root(2)= 1,414…
root(3)= 1,732…
root(4)= 2

    ist teilbar durch …

    falls

    2

    letzte Ziffer ist gerade

    3

    Quersumme ist durch 3 teilbar (auch iteriert)

    5

    letzte Ziffer ist 0 oder 5

    6

    2* 3*

    7

    		  

    8

    letzten 3 Ziffer sind durch 8 teilbar

    9

    Quersumme ist durch 9 teilbar (auch iteriert)

    10

    letzte Zahl ist 10

  • Merke

    Jede natürliche Zahl lässt sich eindeutig (bis auf die Reihenfolge) in Primfaktoren zerlegen
Dezimalsystem

  • Beschreibung

    Stellenwertsystem mit Basis 10 (0-9), das bedeutet:

    Die Zahl 12345 bedeutet:

    104

    103

    102

    101

    100

    10000

    1000

    100

    10

    1

    1

    2

    3

    4

    5
Binärsystem

  • Beschreibung

    Im Binärsystem bedeutet 11011: Basis = 2; Ziffern = 0; 1

    24

    23

    22

    21

    20

    16

    8

    4

    2

    1

    1

    1

    0

    1

    1
Hexadezimalsystem

  • Beschreibung

    Basis = 16; Ziffern = 0-9; A; B; C; D; E; F

    Die Zahl AB bedeutet:

    164

    163

    162

    161

    160

    65536

    4096

    256

    16

    1

     

     

     

    A

    B

    AB = B*1 + 10*16

Flächenberechnung

Quadrat

  • Skizze

    a = 4aA = a² · U = 4a

  • Formel


    \(A = a^2 = a\cdot a\)
    \(U = 4a\)
    \(d = a\cdot \sqrt{2}\)

  • Zusatz

    \((a^2 + a^2 = d^2)\)

  • Beispielaufgabe

    Wie groß ist der Flächeninhalt eines Quadrats mit der Seitenlänge \(a = 4 m\)?

  • Rechnung

    a · a = a²
4 m · 4 m = 16 m²

  • Antwort

    Die Fläche beträgt 16 m².
Rechteck

  • Skizze

    baA = a · b

  • Formel

    \(A = a * b\)
    \(U = 2a + 2b\)
Parallelogramm

  • Skizze

    ghA = g · h

  • Formel

    \(A = g\cdot h\)
    \(U = 2a + 2b\)
Dreieck

  • Skizze

    ch₍c₎A = ½ · c · hᶜ

  • Formel

    \(A = 1/2\cdot c\cdot h_c = c\cdot h_c/2\)
    \(U = a + b + c\)
Gleichschenkliges Dreieck

  • Skizze

    ahssA = a · h / 2

  • Formel

    \(h = \sqrt{s^2 - (a/2}^2)\)
    Pythagoras: \((a/2)^2 + h^2 = s^2\) bzw. \(a^2/4 + h^2 = s^2\)
    \(A = a\cdot h/2\)
    \(U = a + 2s\)
Gleichseitiges Dreieck

  • Skizze

    ahA = a · h / 2 · U = 3a

  • Formel

    \(h = a * \sqrt{3} / 2\)
    \(A = a * h / 2 = a^2 * \sqrt{3} / 4\)
    \(U = 3a\)
Trapez

  • Skizze

    cahA = ½(a + c) · h

  • Formel

    \(A = 1/2\cdot (a + c) \cdot h = (a + c)\cdot h/2\)
    \(U = a + b + c + d\)
Gleichschenkliges Trapez

  • Skizze

    cahA = ½(a + c) · h

  • Formel

    \(A = (a + c) \cdot h/2\)
    \(b = \sqrt{h^2 + (a - c}^2 / 4)\)
    Pythagoras: \(b^2 = h^2 + (a – c)^2/4\)
    \(U = a + c + 2b\)
Kreis

  • Skizze

    rdA = πr² · U = 2πr

  • Formel

    \(r = d/2\) bzw. \(d = 2 * r\)
    \(U = 2 * \pi * r = \pi * d\)
    \(A = \pi * r^2\) oder \(A = \pi * d^2 / 4\)
Kreisring

  • Skizze

    RrA = π(R² − r²)

  • Formel

    Äußerer Radius \(R\), innerer Radius \(r\) (\(R > r\)):
    \(A = \pi * (R^2 - r^2)\)
Kreisausschnitt (Sektor)

  • Skizze

    rαA = r²πα/360°

  • Beschreibung

  • Formel

    Bogenlänge \(b\): \(b = r * \pi * alpha / 180°\)
    \(A = r^2 * \pi * alpha / 360°\)
    Alternativ: \(A = b * r / 2\)

Gleichungen

Liniear

  • Formel

    Addition

    x + 2 = 5  | -2
x = 3

    Subtraktion

    x - 5 = 2  | + 5
x = 7

    Multiplikation

    Beispiele
1) 5 · x = 15  | :5
x = 3

2) 0,5x = 2  | :0,5
x = 4

3) 5 = 0,2x  | :0,2
25 = x

    Division

Dreisatz

Grundformel: \(a/b = c/x\) — umstellen: \(x = (c * b) / a\)

Proportional: Größen wachsen gemeinsam. Antiproportional: die eine wächst, die andere sinkt.

Proportional

  • Beispielaufgabe

    Ein Pkw verbraucht auf 100 km 9,6 Liter Benzin.
    Mit einer Tankfüllung kommt er 540 km weit.
    Wie viel Liter fasst der Tank?
    Das Ergebnis ist auf ganze Liter aufzurunden.

  • Rechnung

    100 km = 9,6 Liter
540 km = ? Liter
---
100 km = 9,6 Liter
1 km = der 100. Teil
540 km = 540 mal soviel
---
9,6 l * 540 / 100 = 51,84 l ~ 52 l

  • Antwort

    Der Tank fasst 52 Liter.
Antiproportional

  • Beispielaufgabe

    Drei Arbeiter benötigen für eine Hofeinfahrt 11,5 Stunden.
    Wie lange brauchen 5 Arbeiter?

  • Rechnung

    3 Arbeiter = 11,5 h
5 Arbeiter =    ? h
---
3 Arbeiter = 11,5 h
1 Arbeiter = 3 mal solange
5 Arbeiter = den 5. Teil der Zeit
---
11,5 h * 3 / 5 = 6,9 h

  • Antwort

    5 Arbeiter brauchen 6,9 Stunden, also etwa 7 Stunden.

Prozent- /Zinsrechnung

Grund- /Prozentwert

  • Formel

    \(W = p * G / 100\) | oder | \(G = 100 * W / p\)

  • Beispielaufgabe

    Es wurde ein Bus gemietet um eine Gruppe von 50 Personen ins Theater zu fahren. Von diesen 50 Personen haben jedoch erst 30% die Fahrt bezahlt. Wie viele Personen haben bereits bezahlt?

  • Rechnung

    W = p * G / 100
W = 30 * 50 Personen / 100
W = 15 Personen

  • Antwort

    Antwort: Dem Text entnehmen wir, dass G = 50 Personen sein muss. Der Prozentsatz ergibt sich zu p% = 30% und damit ist die Prozentzahl p = 30. Den Prozentwert W suchen wir. Mit diesen Angaben gehen wir in die Gleichung und erhalten W = 15 Personen. Es haben somit erst 15 Personen die Fahrt bezahlt.Dem Text entnehmen wir, dass G = 50 Personen sein muss. Der Prozentsatz ergibt sich zu p% = 30% und damit ist die Prozentzahl p = 30. Den Prozentwert W suchen wir. Mit diesen Angaben gehen wir in die Gleichung und erhalten W = 15 Personen. Es haben somit erst 15 Personen die Fahrt bezahlt.
Prozentsatz

  • Formel

    \(p = 100 * W / G\)

  • Beispielaufgabe

    Ein Autohändler kauft ein Auto für 10.000 Euro. Zwei Monate später schafft er es dieses für 12.000 Euro wieder zu verkaufen. Wie viel Prozent Gewinn hat er damit erwirtschaftet?

  • Rechnung

    p = 100 * W / G
p = 100 * 2000 Euro / 10000 Euro
p = 20
p% = 20%

  • Antwort

    Antwort: Wir entnehmen der Aufgabenstellung, dass G = 10.000 Euro ist. Außerdem können wir W = 12.000 Euro - 10.000 Euro = 2.000 Euro ermitteln. Der Händler verkauft den Wagen somit 2.000 Euro teurer als er ihn eingekauft hat. Mit diesen Angaben gehen wir in die Gleichung und ermitteln die Prozentzahl zu p = 20 und den Prozentsatz zu p% = 20%. Also hat der Händler 20% Gewinn erwirtschaftet.

  • Merke

    Merke: Die Prozentrechnung und der Dreisatz hängen mathematisch ganz Eng zusammen.

Zinsrechnung

Merke: Kapital = K, Zinssatz = p, Zinsen = Z. Deutsche Banken: Jahr = 360 Tage, Monat = 30 Tage.

Jahreszins

  • Formel

    \(Z = K * p / 100\)

  • Beispielaufgabe

    Auf einem Sparbuch werden 1200 Euro für einen Zeitraum von einem Jahr mit 3 Prozent verzinst. Wie viel Zinsen erhält der Inhaber des Sparbuchs nach einem Jahr?

  • Rechnung

    Z = K * p / 100
Z = 1200 Euro * 3 / 100 = 36 Euro

  • Antwort

    Antwort: Dem Text entnehmen wir, dass K = 1200 Euro und p = 3 ist. Dies setzen wir in die eben genannte Formel ein.

  • Merke

    Merke: Der Grundwert wird in der Zinsrechnung als Kapital bezeichnet, der Prozentsatz wird zum Zinssatz und der Prozentwert wird zu den Zinsen. Deutsche Banken rechnen das Jahr mit 360 Tagen und den Monat mit 30 Tagen.
Monatszins

  • Formel

    \(Z = K * p * m / (100 * 12)\)

  • Beispielaufgabe

    Ein Guthaben von 18000 Euro wird für einen Zeitraum von 7 Monaten und einem Zinssatz von 4% festgelegt. Wie viel Zinsen fallen an?

  • Rechnung

    Z = K * p * m / 100 * 12
Z = 18000 Euro * 4 * 7 / 100 * 12 = 420 Euro

  • Antwort

    Dem Text entnehmen wir, dass K = 18000 Euro, p = 4 und m = 7 ist. Diese Angaben setzen wir in die Formel ein und berechnen die Zinsen.
Tageszins

  • Formel

    \(Z = K * p * t / (100 * 360)\)

  • Beispielaufgabe

    Ein Guthaben von 7600 Euro wird für 120 Tage zu einem Zinssatz von 5 Prozent festgelegt. Wie viel Zinsen fallen für diesen Zeitraum an?

  • Rechnung

    Z = K * p * t / 100 * 360
Z = 7600 Euro * 5 * 120 / 100 * 360 = 126.67 Euro

  • Antwort

    Wir entnehmen dem Text, dass K = 7600 Euro, p = 5 und t = 120 ist. Diese Informationen setzen wir in die Formel ein und berechnen die Zinsen.
Zinssatz

  • Formel

    \(p = Z * 100 / K\)

    \(p = Z * 1200 / (K * m)\)

    \(p = Z * 36000 / (K * t)\)

  • Übungsaufgabe

    Nach einem Jahr sind auf einem Konto 50 € Zinsen bei 1000 € Kapital angefallen. Wie hoch war der Zinssatz \(p\)?
Kapital

  • Formel

    \(K = Z * 100 / p\)

    \(K = Z * 1200 / (p * m)\)

    \(K = Z * 36000 / (p * t)\)

  • Übungsaufgabe

    Welches Kapital \(K\) ergibt bei 8 % und 200 € Zinsen nach einem Jahr?
Zeit

  • Formel

    \(m = Z * 1200 / (K * p)\)

    \(t = Z * 36000 / (K * p)\)

  • Übungsaufgabe

    120 € Zinsen bei K = 9000 € und p = 4 % — wie viele Monate \(m\)?

Zinseszins

Endkapital

  • Formel

    \(K_{\text{VERZINST}} = K_{\text{ANFANG}} * (1 + p/100)^n\)

  • Beispielaufgabe

    Ein Guthaben von 1200 Euro wird zu einem Zinssatz von 4 Prozent für einen Zeitraum von 5 Jahren festgelegt. Wie hoch ist das Guthaben nach dieser Zeit?

  • Rechnung

    K_v = K_a * (1 + P / 100)^n
K_v = K_a * (1 + P / 100)^n
K_v = 1200 Euro * (1 + 4 / 100)^5
K_v = 1200 Euro * (1,04)^5
K_v = 1200 Euro * 1,21665
K_v = 1459,98 Euro

  • Antwort

    Antwort: Wir entnehmen dem Text, dass KANFANG = 1200 Euro, p = 4 und n = 5 ist. Diese Angaben setzen wir in die Formel zum Zinseszins ein und berechnen das Ergebnis KVERZINST. Nach 5 Jahren beträgt das verzinste Kapital 1459,98 Euro.
Anfangskapital

  • Formel

    \(K_{\text{ANFANG}} = K_{\text{VERZINST}} / (1 + p/100)^n\)

  • Beispielaufgabe

    Wie viel Geld muss man anlegen, um nach 4 Jahren und bei einem Zinssatz von 3 Prozent ein Guthaben von 8000 Euro zu erhalten?

  • Rechnung

    K_a = K_v / (1 + p / 100)^n
K_a = 8000 Euro / (1,03)^4
K_a = 8000 Euro / 1,1255
K_a ≈ 7107,90 Euro

  • Antwort

    Antwort: Dem Text entnehmen wir, dass KVERZINST = 8000 Euro, p = 3 und n = 4 ist. Diese Angaben setzen wir in die Formel ein.
Zinssatz

  • Formel

    \(p = 100 * (\sqrt[n]{K_{\text{VERZINST}} / K_{\text{ANFANG}}} - 1)\)

  • Beispielaufgabe

    Ein Guthaben von 800 Euro wurde 4 Jahre verzinst. Das Guthaben beträgt nach der Verzinsung 980 Euro. Wie hoch war der Zinssatz?

  • Rechnung

    p = 100 * (root(n)(K_v / K_a) - 1)
p = 100 * root(4)((980 Euro / 800 Euro)) -100
p = 100 * root(4)((1,225) - 100)
p = 100 * 1,052 - 100
p = 105,2 - 100
p = 5,2

  • Antwort

    Antwort: Dem Text entnehmen wir, dass n = 4, KVERZINST = 980 Euro und KANFANG = 800 Euro ist. Diese Daten setzen wir in die Formel ein.
Zeit (Jahre)

  • Formel

    \(n = (\log_{10}(K_{\text{VERZINST}}/K_{\text{ANFANG}}))/(\log_{10}(1+(p/100)))\)

  • Beispielaufgabe

    Auf einem Sparbuch befinden sich 1000 Euro, der Zinssatz beträgt 5 Prozent. Nach welcher Zeit hat sich das Geld auf dem Sparbuch verdoppelt?

  • Rechnung

    n = (lg(K_v/K_a))/(lg(1+(p/100)))
n = (lg(2000 Euro/1000 Euro))/(lg(1+(5/100)))
n = (0,30103/0,02119)
n = 14,2

  • Antwort

    Antwort: Dem Text entnehmen wir, dass KANFANG = 1000 Euro, KVERZINST = 2000 Euro und p = 5 ist. Diese Angaben setzen wir in die Formel ein. Das "lg" ist übrigens keine Variable, sondern steht für den dekadischen Logarithmus.